Euler Identity: A Form without Content

Euler Identity , useless formula

The quote by physicist Wolfgang Pauli mocking a certain research paper—"This isn't right. It's not even wrong!"—I find it applies to Euler's identity. Euler's identity is a completely useless relation. It offers nothing more than an alternative notation for complex numbers in certain cases. For example, it cannot be used to calculate the quantity pi from the number e; these two numbers remain independent, and each must be computed using its own separate method. Despite this, there is an excessive amount of praise and poetic glorification of this formula, mainly because it links the four most important mathematical constants—an extremely weak connection, as I will explain. Euler's identity is not a general algebraic relation linking these constants, but rather a geometric relation for a very specific case—namely when the number x represents an angle measured in radians. This is because we use the series expansion of trigonometric functions in its derivation, as shown in (2a) and (3a) in the image. This expansion is only valid when the angle is measured in radians. If we try to apply the expansion in the general case, we get the relations (2b) and (3b) instead, which do not lead to Euler's identity. While the exponential function’s series expansion depends only on the value of x as a pure number, the expansions of the trigonometric functions depend on x as an angle and on the unit in which it is measured—and only lead to Euler's identity in a specific case.

The Metric Problem in Polar Coordinates: A Comprehensive Analysis and a Solution

Geometrical Meaning of Covariant and Contravariant Vector

Does Relativity of Rotation Contradict the fact that the Speed of Light is the Limit

viXra:2410.0183

Relativistic Relation Between Linear and Angular Speeds

تطور النظرة الى أبعاد العالم

في أول مرحلة ، رأى البشر أنفسهم كأنهم يعيشون في بعدين فيمكنهم التحرك على مساحة هي سطح الأرض ولاحظوا أن هذا العالم يمكن أن يفصل الى بعدين بطريقة ثابتة وذات معنى وهي الخط الواصل بين موضع شروق الشمس و موضع غروبها والاتجاه العمودي عليه..لكنهم لاحظوا بعد مدة أن هذه الاتجهات ليست ثابتة لكن تتغير مع فصول السنة فعلموا أن فصل العالم ذي البعدين الى خطين متعامدين مسألة نسبية تعتمد على اختيارنا الحر. ثم هم بعد ذلك رأوا بعض الحيونات تطير لأعلى وتتحرك صعودا وهبوطا فعلموا أن الجهة العلوية أيضا هي بعد مثل البعدين الافقيين و أن العالم ثلاثي الأبعاد لكن الجهة العلوية لها خصوصية ولها قوانين تختلف عن الجهات الأفقية. ثم أكتشفت كروية الأرض التي اظهرت أن الاتجاه العلوي نسبي يعتمد على موضع الراصد في الأرض و أكتشف نيوتن قانون الجاذبية الذي أظهر أن صعوبة الحركة لأعلى ليس لخصوصية بالنسبة لقوانين الفيزياء للجهة العلوية لأنه حتى لو وضعنا جسمين ثقيلين على سطح الأرض سيوجد بينهما تجاذب في اتجاه افقي فاتضح من ذلك ان الجهة العلوية في ذاتها لا تختلف عن أي اتجاه أفقي على سطح الأرض فاصبح العالم في نظرهم ثلاثي الأبعاد ويمكن فصله الى أبعاده الثلاثة بأي طريقة نختارها. ثم لاحظ الناس بعد ذلك أن الزمن يشبه أبعاد المكان الثلاثة فكل حدث بسيط بتحدد بوقته في محور الزمن و موضعه في محاور المكان الثلاثة فعرفوا أن العالم رباعي الأبعاد مكون من عالم ثلاثي الابعاد يمكن ان نفصله لابعاده الثلاثة بطريقة تعتمد على اختيار الراصد لكن الزمن فيه حسابه مطلق لا يعتمد على الراصد. ثم ظهرت تجارب ونظريات قادت الفيزيائين الى النسبية الخاصة التي كان أحد نتائجها أن الزمن نفسه ليس بعدا خاصا في عالمنا الرباعي الأبعاد بل يمكن فصل العالم الى الأربعة أبعاد بالطريقة التي يختارها الراصد. بعد هذه الخبرة الطويلة تحررت نظرة العلماء للأبعاد وطرق فصلها ومزجها والاضافة عليها من القيود التي يقود اليها الحس المباشر ففكر الناس في انحناء مزيج الأبعاد الأربعة وجاءت النسبية العامة وربطت بين هذا الانحناء و المادة و تكلم العلماء عن امكانية وجود أكثر من أربعة أبعاد ولم تعد قضية اضافة بعد ومزجه مع الأبعاد المعروفة والتنظير في خواص المزيج و انفعاله بالمادة وفعله فيها قضية مدهشة أو مثيرة لأحد يعي هذا التاريخ الطويل.